机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

一、k-means算法

       通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

       我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

       如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

       k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

       k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

       式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

      上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

      对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

      对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

      下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

       对数据集中的每一个数据点

              对每一个质心

                     计算质心与数据点的距离

              将数据点分配到距离最近的簇

       对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

二、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : zouxy09@qq.com
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt


# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
    return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    centroids = zeros((k, dim))
    for i in range(k):
        index = int(random.uniform(0, numSamples))
        centroids[i, :] = dataSet[index, :]
    return centroids

# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
    numSamples = dataSet.shape[0]
    # first column stores which cluster this sample belongs to,
    # second column stores the error between this sample and its centroid
    clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
    clusterChanged = True

    ## step 1: init centroids
    centroids = initCentroids(dataSet, k)

    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        ## for each sample
        for i in xrange(numSamples):
            minDist  = 100000.0
            minIndex = 0
            ## for each centroid
            ## step 2: find the centroid who is closest
            for j in range(k):
                distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
                if distance < minDist:
                    minDist  = distance
                    minIndex = j

            ## step 3: update its cluster
            if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
                clusterChanged = True
                clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

        ## step 4: update centroids
        for j in range(k):
            pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
            centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis =  0)

    print 'Congratulations, cluster complete!'
    return centroids, clusterAssment

# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
    numSamples, dim = dataSet.shape
    if dim != 2:
        print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
        return 1

    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
    if k > len(mark):
        print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
        return 1

    # draw all samples
    for i in xrange(numSamples):
        markIndex = int(clusterAssment[i,  0])
        plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

    mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
    # draw the centroids
    for i in range(k):
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)

    plt.show()

################################################## kmeans: k-means cluster# Author : zouxy# Date   : 2013-12-25# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09# Email  : zouxy09@qq.com#################################################from numpy import *import timeimport matplotlib.pyplot as plt# calculate Euclidean distancedef euclDistance(vector1, vector2):	return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))# init centroids with random samplesdef initCentroids(dataSet, k):	numSamples, dim = dataSet.shape	centroids = zeros((k, dim))	for i in range(k):		index = int(random.uniform(0, numSamples))		centroids[i, :] = dataSet[index, :]	return centroids# k-means clusterdef kmeans(dataSet, k):	numSamples = dataSet.shape[0]	# first column stores which cluster this sample belongs to,	# second column stores the error between this sample and its centroid	clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))	clusterChanged = True	## step 1: init centroids	centroids = initCentroids(dataSet, k)	while clusterChanged:		clusterChanged = False		## for each sample		for i in xrange(numSamples):			minDist  = 100000.0			minIndex = 0			## for each centroid			## step 2: find the centroid who is closest			for j in range(k):				distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])				if distance < minDist:					minDist  = distance					minIndex = j						## step 3: update its cluster			if clusterAssment[i, 0] != minIndex:				clusterChanged = True				clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2		## step 4: update centroids		for j in range(k):			pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]			centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)	print 'Congratulations, cluster complete!'	return centroids, clusterAssment# show your cluster only available with 2-D datadef showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):	numSamples, dim = dataSet.shape	if dim != 2:		print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"		return 1	mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '
    
      len(mark):		print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"		return 1	# draw all samples	for i in xrange(numSamples):		markIndex = int(clusterAssment[i, 0])		plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])	mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '
    

三、测试结果

      测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

1.658985    4.285136
-3.453687   3.424321
4.838138    -1.151539
-5.379713   -3.362104
0.972564    2.924086
-3.567919   1.531611
0.450614    -3.302219
-3.487105   -1.724432
2.668759    1.594842
-3.156485   3.191137
3.165506    -3.999838
-2.786837   -3.099354
4.208187    2.984927
-2.123337   2.943366
0.704199    -0.479481
-0.392370   -3.963704
2.831667    1.574018
-0.790153   3.343144
2.943496    -3.357075
-3.195883   -2.283926
2.336445    2.875106
-1.786345   2.554248
2.190101    -1.906020
-3.403367   -2.778288
1.778124    3.880832
-1.688346   2.230267
2.592976    -2.054368
-4.007257   -3.207066
2.257734    3.387564
-2.679011   0.785119
0.939512    -4.023563
-3.674424   -2.261084
2.046259    2.735279
-3.189470   1.780269
4.372646    -0.822248
-2.579316   -3.497576
1.889034    5.190400
-0.798747   2.185588
2.836520    -2.658556
-3.837877   -3.253815
2.096701    3.886007
-2.709034   2.923887
3.367037    -3.184789
-2.121479   -4.232586
2.329546    3.179764
-3.284816   3.273099
3.091414    -3.815232
-3.762093   -2.432191
3.542056    2.778832
-1.736822   4.241041
2.127073    -2.983680
-4.323818   -3.938116
3.792121    5.135768
-4.786473   3.358547
2.624081    -3.260715
-4.009299   -2.978115
2.493525    1.963710
-2.513661   2.642162
1.864375    -3.176309
-3.171184   -3.572452
2.894220    2.489128
-2.562539   2.884438
3.491078    -3.947487
-2.565729   -2.012114
3.332948    3.983102
-1.616805   3.573188
2.280615    -2.559444
-2.651229   -3.103198
2.321395    3.154987
-1.685703   2.939697
3.031012    -3.620252
-4.599622   -2.185829
4.196223    1.126677
-2.133863   3.093686
4.668892    -2.562705
-2.793241   -2.149706
2.884105    3.043438
-2.967647   2.848696
4.479332    -1.764772
-4.905566   -2.911070

1.658985	4.285136-3.453687	3.4243214.838138	-1.151539-5.379713	-3.3621040.972564	2.924086-3.567919	1.5316110.450614	-3.302219-3.487105	-1.7244322.668759	1.594842-3.156485	3.1911373.165506	-3.999838-2.786837	-3.0993544.208187	2.984927-2.123337	2.9433660.704199	-0.479481-0.392370	-3.9637042.831667	1.574018-0.790153	3.3431442.943496	-3.357075-3.195883	-2.2839262.336445	2.875106-1.786345	2.5542482.190101	-1.906020-3.403367	-2.7782881.778124	3.880832-1.688346	2.2302672.592976	-2.054368-4.007257	-3.2070662.257734	3.387564-2.679011	0.7851190.939512	-4.023563-3.674424	-2.2610842.046259	2.735279-3.189470	1.7802694.372646	-0.822248-2.579316	-3.4975761.889034	5.190400-0.798747	2.1855882.836520	-2.658556-3.837877	-3.2538152.096701	3.886007-2.709034	2.9238873.367037	-3.184789-2.121479	-4.2325862.329546	3.179764-3.284816	3.2730993.091414	-3.815232-3.762093	-2.4321913.542056	2.778832-1.736822	4.2410412.127073	-2.983680-4.323818	-3.9381163.792121	5.135768-4.786473	3.3585472.624081	-3.260715-4.009299	-2.9781152.493525	1.963710-2.513661	2.6421621.864375	-3.176309-3.171184	-3.5724522.894220	2.489128-2.562539	2.8844383.491078	-3.947487-2.565729	-2.0121143.332948	3.983102-1.616805	3.5731882.280615	-2.559444-2.651229	-3.1031982.321395	3.154987-1.685703	2.9396973.031012	-3.620252-4.599622	-2.1858294.196223	1.126677-2.133863	3.0936864.668892	-2.562705-2.793241	-2.1497062.884105	3.043438-2.967647	2.8486964.479332	-1.764772-4.905566	-2.911070

测试代码：

test_kmeans.py

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : zouxy09@qq.com
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt

## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
    lineArr = line.strip().split('\t')
    dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

################################################## kmeans: k-means cluster# Author : zouxy# Date   : 2013-12-25# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09# Email  : zouxy09@qq.com#################################################from numpy import *import timeimport matplotlib.pyplot as plt## step 1: load dataprint "step 1: load data..."dataSet = []fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')for line in fileIn.readlines():	lineArr = line.strip().split('\t')	dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])## step 2: clustering...print "step 2: clustering..."dataSet = mat(dataSet)k = 4centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)## step 3: show the resultprint "step 3: show the result..."showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

       k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

       k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。